Korelácia

Pod pojmom korelácia rozumieme mieru podobnosti. Matematická operácia korelácie je v oblasti spracovania signálov a obrazov veľmi dôležitá. Ma obrovské množstvo praktických využití. V lokalizačnom systéme GPS je jednorozmerná korelácia použitá na identifikáciu satelitov. V radarových systémoch je korelácia veľmi užitočná pri identifikácii objektov, ktoré radar zachytil. V ekonomike a iných vedách korelácia môže pomôcť odhaliť, či nejaké deje môžu byť na sebe závisle. V oblasti spracovania obrazov koreláciu využívame v jej dvojrozmernej podobe hlavne pri vyhľadávaní objektov v obraze. Napríklad vo výrobe je možné porovnať fotografiu vyrobeného výrobku, napr. osadeného plošného spoja, s predlohou ako má vyzerať. V prípade, že korelačný koeficient bude nízky je možné tento výrobok vyradiť ako nepodarok. Koreláciu je možné použiť pri generovaní hĺbkových máp zo stereoskopických obrazov.

Normovaný korelačný moment

Korelačný moment medzi dvoma obrazmi vypočítame tak, že tieto obrazy preložíme cez seba a obrazové prvky, ktoré sa prekrývajú vzájomne vynásobíme. Následne výsledky tohto násobenia sčítame a predelíme počtom obrazových prvkov obrazu. Týmto získame nenormovaný korelačný moment. Aby korelačný moment mal výpovednú hodnotu je potrebné vykonať normovanie. Normovanie je dosiahnuté tak, že tento nenormovaný korelačný moment je delený súčinom smerodajných odchýlok oboch obrazov. Uvažujme dva obrazy X a Y s rozmerom MxN op. Daný postup je pre lepšiu ilustráciu zobrazený na obr.1. Matematicky tento postup môžeme zapísať pomocou nasledovného vzťahu:

Obr.1 Vzájomné prekrytie a následné vynásobenie obrazov X a Y.

Normovaný kovariančný moment

Už sme ukázali, ako vypočítame normovaný korelačný moment. Jeho nevýhodou je, že sám o sebe nemá veľmi veľkú výpovednú hodnotu, pretože môže nadobudnúť ľubovoľnú hodnotu. Pre účely porovnávania obrazov je vhodnejšie použiť normovaný kovariančný moment. Tento moment nadobúda hodnoty z uzatvoreného intervalu  < -1 , 1 >. Hodnota -1 hovorí o tom, že obrazy sú rovnaké, ale invertované (biela = čierna a naopak). Hodnota 0 hovorí, že medzi obrazmi nie je žiadna štatistická závislosť, resp. sú maximálne rôzne, resp. maximálne dekorelované. Hodnota 1 predstavuje maximálnu zhodu, teda obrazy sú identické. Normovaný kovariančný moment vypočítame podobne ako korelačný, ale od vstupných obrazov  najprv odpočítame ich stredné hodnoty. To znamená, že od každého prvku obrazu X odčítame strednú hodnotu obrazu E(X) a rovnako od každého prvku obrazu Y odčítame strednú hodnotu E(Y). Vzťah pre výpočet normovaného kovariančného momentu bude potom vyzerať nasledovne:

Vzájomná kovariancia

Keď už rozumieme tomu, ako získať normovaný kovariančný moment, môžeme vysvetlenie korelácie rozvinúť do finálnej podoby. Korelačný resp. kovariančný moment sú skaláry. Výsledok vzájomnej kovariancie obrazov však bude matica. Uvažujme teda dva obrazy X a Y, ktoré v zásade nemusia mať rovnaký rozmer. Predpokladajme že obraz X má rozmer MxM a obraz Y má rozmer NxN, pričom nech platí, že M>N.  Vzájomnú kovarianciu medzi obrazmi vypočítame tak, že obrazy cez seba postupne posúvame a pre každý posun v horizontálnom smere i a vertikálnom smere j vypočítavame normovaný korelačný koeficient R_i,j(X,Y). Musíme však mať na pamäti, že smerodajné odchýlky je potrebné uvažovať z tých časti obrazu, ktoré sa aktuálne prekrývajú! Tieto korelačné koeficienty zapisujeme do matice na príslušne miesto dané posunom i a j. Posun je možné vykonávať dvojakým spôsobom. Pri prvom spôsobe menší obraz začíname nasúvať na väčší od ľavého horného rohu. Postupným posunom sa prejde celý obraz a proces končí, keď sa obrazy prekrývajú len jedným obrazovým prvkom v pravom dolnom rohu. Toto je zobrazené na obr. 2. Výsledok korelácie bude mať rozmer väčší ako bol rozmer väčšieho obrazu. V praxi to však nemá veľké opodstatnenie.  Druhý spôsob je taký, že obrazy cez seba prekryjeme v ľavej časti, ale za hranice väčšieho obrazu sa nepokračuje (obr. 3). Výsledok korelácie bude mať rozmer menší ako prechádzajúcom prípade.

Obr.2 Vzájomné prekrytie a následné vynásobenie obrazov X a Y.

Obr.3 Vzájomné prekrytie a následné vynásobenie obrazov X a Y.

Matematicky zápis výpočtu hodnoty vzájomnej kovariancie so súradnicou (u, v) je nasledovný. Tieto kovariancie je následne možné zapísať do matice. 

Na nasledujúcom obr.4  je demonštrované využitie kovariancie pri vyhľadávaní obrazu v obraze. Pre lepšiu ilustráciu je výsledná matica zobrazená vo forme 3D grafu.