Náplň prednášky:

  • Fourierov rad - Komplexný tvar
  • Komplexné, modulové a argumentové spektrum periodického signálu
  • Výkonové spektrum a Parcevalova teorema

 

Fourierov rad – Komplexný tvar

  • Okrem trigonometrického a kosínusového tvaru poznáme aj komplexný (exponenciálny tvar) FR. 
  • S komplexným tvarom FR sa v praxi stretávame najčastejšie
  • Pri komplexnom tvare nepoužívame priamo funkcie sin(t) a cos(t), ale využívame množinu exponenciálnych komplexných funkcií {ejkΩ1t }, ktorá je pre pre N =±1, ±2, … ortogonálna v intervale jednej periódy t∈ <0, T>
  • Komplexné koeficienty sú určené nasledovne:

  • Tieto koeficienty sú komplexné čísla a zadávajú sa v nasledovnom tvare. Koeficienty ak, bk sú zhodné s koeficientami z trigonometrického tvaru.

Komplexné, modulové a argumentové spektrum

  • Je zrejmé, že komplexné spektrum nie je jednoduché zakresliť do grafu (podobne ako trigonometrický tvar). Preto sa zakresľuje modulové spektrum, ktoré predstavuje veľkosť jednotlivých spektrálnych čiar a tiež argumentové spektrum, ktoré predstavuje fázu.

Pre modulové a argumentové spektrum platí nasledovné:

  1. Pri modulovom a argumentovom spektre sa spektrálne čiary vyskytujú v kladnej časti aj zápornej časti horizontálnej osi v k-násobkoch základnej kruhovej frekvencie Ω1.
  2. Modulové spektrum je obojstranné (dvojstranné) spektrum! (t.j. kreslí sa do kladnej aj zápornej časti frekvenčnej osi).
  3. Argumentové spektrum vždy vykazuje nepárnu symetriu!
  4. Jednosmerná zložka má nulovú fázu, ale môže mať fázu +π v prípade ak by bola jednosmerná zložka záporná.



Výkonové spektrum 

  • Stredný normovaný výkon je P[W] je v časovej oblasti daný vzťahom:

  • Výkon v spektrálnej oblasti možné určiť, ako sumu výkonov jednotlivých spektrálnych zložiek.

Parcevalová teoréma hovorí, že výkon periodického signálu v časovej oblasti je rovný jeho výkonu vo frekvenčnej oblasti!

Praktická šírka ftrekv. spektra

  • Pod pojmom praktická šírka spektra periodického signálu rozumieme frekvenčný rozsah B, v ktorom sa nachádzajú frekvenčné zložky s amplitúdami prevyšujúcimi vopred stanovenú hodnotu (prah).
  • Tiež pod týmto pojmom môžeme rozumieť frekvenčný rozsah, v ktorom je sústredená podstatná časť normovaného výkonu periodického signálu.
  • V praxi nemá zmysel pracovať s nekonečným spektrom signálu, zvyčajne sa spektrum obmedzí na praktickú šírku.
  • Spektrum signálu obmedzujeme v spektrálnej oblasti, kedy sa stanoví prah a všetky zložky pod prahom sa vynulujú.
  • Tiež je možné spektrum obmedziť pomocou filtrácie (ukážeme na neskorších prednáškach)


Vplyv zmeny striedy na frekvenčné spektrum 

  • Ak uvažujeme pravouhlý signál (digitálny), tak ak sa mení strieda - pomer medzi trvaním logickej 1 a logickej 0 dochádza v spektre k tomu, že sa výkon signálu rozkladá na vyššie spektrálne zložky. V jednotlivých lalokoch pribúdajú spektrálne čiary a laloky sa rozširujú. 
  • V momente ak je tento signál zredukovaný na veľmi úzky impulz, môžeme si všimnúť, že spektrum už neopisuje funkciu sinc(t) ale všetky spektrálne zložky sú v signáli zastúpené rovnako.
  • Na obr. je oranžovou vyznačená obálka spektra. Obálka nie je spektrum (to je čiarové)! Obálka predstavuje spojitú funkciu, ktorú spektrálne čiary opisujú svojou hodnotou.


Vplyv posunutia signálu v čase na frekvenčné spektrum

  • Posunutie signálu v čase nemá žiaden vplyv na modulové (alebo aj amplitúdové) spektrum. 
  • Mení sa len fáza jednotlivých harmonických!